Analisis Numerik Lanjut Kuliah 2

Akar Persamaan Taklinear

Solusi x yang memenuhi f(x) = 0, untuk suatu fungsi taklinear f.

f(x) = x²-2x+1=0 memiliki akar x =1

f(x) =  e^x+1 tidak memiliki akar

Metode pencarian akar persamaan taklinear

•          Metode kekonvergenan global
•          Metode kekonvergenan lokal

Metode Kekonvergenan Global

Metode ini bekerja dengan mengapit akar persamaan ke dalam selang [a,b], sehingga jika dapat menemukan suatu interval yang demikian maka akar persamaan pasti dapat ditemukan. Metode ini terbagi menjadi metode bagi dua dan metode posisi salah.

Kelebihan        : lebih mudah diterapkan, selalu konvergen

Kekurangan     : kekonvergenan lambat, harus menebak dua titik awal

Metode Bagi Dua

Metode yang paling sederhana untuk mencari akar persamaan dengan cara membagi interval menjadi dua.

Algoritme :     

-          tentukan selang awal [a,b] dengan f(a)f(b)<0

-          hitung c = (a+b)/2

-          jika f(c) = 0 maka x = c adalah suatu solusi eksak

-          jika f(a) f(c) < 0 maka akar persamaan terletak pada interval (a,b)

-          jika f(a) f(c) > 0 maka akar persamaan terletak pada interval (c,b)

-          ulangi langkah ke-2 sampai kriteria penghentian

contoh : f (x) = x³ − 3x +1  pada [0, 1]

Teorema Kekonvergenan Metode Bagi Dua

Andaikan f  kontinu pada [a,b] dan terdapat suatu bilangan  r dalam [a, b], sedemikian sehingga f(r)=0.  Jika  f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan dan {c_n} merepresentasikan sekuens dari nilai tengah yang dibangkitkan oleh proses bagi dua, maka 

n = 1,2,...

dan {c_n}  konvergen ke akar persamaan x = r

Contoh : Jika a = 0.1 dan b = 1.0, maka apapun fungsi f yang kontinu pada [a,b], banyaknya iterasi yang diperlukan agar galat yang dihasilkan tidak lebih dari 10^-8/2 adalah sebagai berikut

                                                                                  

r = akar sebenarnya

x_n = hampiran ke-n

n = banyaknya iterasi

Metode Posisi Salah

Memiliki algoritme yang serupa dengan metode bagi dua. Metode ini tidak membagi interval menjadi dua tapi membuat interpolasi linear untuk mendapat titik yang baru.

Algoritme :

-          tentukan selang awal [a,b] dengan f(a)f(b)<0

-          hitung c = (a.f(b)-b.f(a))/(f(b)-f(a)

-          jika f(c) = 0 maka x = c adalah suatu solusi eksak

-          jika f(a) f(c) < 0 maka akar persamaan terletak pada interval (a,b)

-          jika f(a) f(c) > 0 maka akar persamaan terletak pada interval (c,b)

-          ulangi langkah ke-2 sampai kriteria penghentian

contoh : x³+4x²-10=0

k	ak	ck	bk	f(ck)
0	1	1,26315789473	2	-1,60227438402
1	1,26315789473	1,33882783882	2	-0,43036474800
2	1,33882783882	1,35854634182	2	-0,11000878847
10	1,36522958967	1,36522990694	2	-0,00000175823

Metode Kekonvergenan Lokal

Terbagi menjadi metode Newton-Raphson dan metode Secant

Kelebihan        : lebih cepat konvergen

Kekurangan     : proses komputasi lebih sulit, perlu tebakan nilai awal yang sesuai

Metode Newton-Raphson

Mirip dengan metode posisi salah, namun metode ini menggunakan kemiringan garis untuk menentukan hampiran titiknya.

Metode ini bisa menjadi divergen bila  f ' semakin mengecil pada suatu titik iterasi atau antara penduga akar terbaru dan akar yang sebenarnya, atau karena pemilihan titik awal yang salah.

Metode Secant

Metode ini serupa dengan metode Newton-Raphson, namun berbeda pada pendekatan f’(x)

Dengan menyubstitusi ke persamaan Newton-Raphson didapat

Metode Iterasi Titik Tetap

Dasarnya adalah menyelesaikan persamaan x = g(x). Disebut titik tetap karena metode ini mencari titik p sehingga g(p) = p menggunakan persamaan p_i+1 = g(p_i) yang disebut iterasi titik tetap.

Contoh : f(x) = x² – x – 2

Maka   g(x) = x² – 2

            g(x) = 1 + 2/x

terlihat bahwa pemilihan g(x) = x² – 2 mengakibatkan metode menjadi divergen, namun g(x) = 1 + 2/x mengarah ke x = 2.