Analisis Numerik Lanjut Kuliah 3

Interpolasi Linear : Hampiran nilai yang berada dalam suatu selang

Interpolasi Polinomial Lagrange

f(x) = p_n(x) = a_0.l₀(x)+a₁.l₁(x)+...+a_n.l_n(x)

a_i = y_i

l_i(x) = ∏_j≠i(x-x_j)/(x_i-x_j)

Contoh : Dari fungsi y = f(x) diberikan tiga buah titik data (1,1.5709), (4,1.5727), (6,1.5751), Tentukan f(3,5) dengan polinom Lagrange derajat 2

Interpolasi Polinomial Newton

p_n(x)=a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁)+...+a_n(x-x₀)(x-x_1­)...(x-x_n-1)

a_n = f[x₀,x₁,...,x_n]         f adalah beda terbagi

untuk 2 titik, f adalah

3 titik

n titik

Contoh : lakukan interpolasi Newton orde 3 melalui titik (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438)

p₃(x)=a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁)+a₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)

p₃(x) = 0+ 0.465(x-1)-0.053(x-1)(x-4)+0.008(x-1)(x-4)(x-6)

Vandermonde Matrix

Bentuk umum dari polinomial yang menginterpolasi titik (x₀,y₀),(x₁,y₁),...,(x_n,y_n) adalah

P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +...+a_nxⁿ

Jika dimasukkan titik-titiknya akan membentuk sistem persamaan linear

Dalam notasi matriks menjadi

Matriks V dalam SPL tersebut adalah matriks Vandermonde

Interpolasi Invers

Digunakan untuk menghampiri invers suatu fungsi

Galat Interpolasi

Galat interpolasi adalah selisih antara hampiran fungsi dengan fungsi sebenarnya

Teorema I

Jika p adalah polinomial berderajat tertinggi n yang menginterpolasi f pada n+1 titik, yaitu x₀,x₁,...,x_n∈[a,b] dan jika f⁽ⁿ⁺¹⁾ kontinu,maka ∀x∈[a,b]

Galat rata-rata interpolasi

c pada teorema I dihampiri dengan c = x_t = (x₀ + x_n)/2

Lemma Batas Atas

Definisikan x_i = a + ihx_i untuk i=0, 1, …, n, maka untuk suatu x∈[a,b],

dengan h=(b-a)/n adalah jarak antartitik

Teorema II

Misalkan f fungsi yang memenuhi f⁽ⁿ⁺¹⁾ kontinu pada [a,b] dan |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|≤ M.

Misalkan p adalah polinomial berderajat ≤ n yang menginterpolasi f pada n+1 titik di [a,b] termasuk titik akhirnya ,maka di [a,b]

dengan h=(b-a)/n adalah jarak antartitik.

Turunan Numerik

Digunakan ketika mencari turunan fungsi yang tidak diketahui atau memiliki bentuk rumit

Hampiran Selisih Maju

Misalkan x = x₀ + h, dengan ekspansi deret Taylor diperoleh

Dan diperoleh hampiran turunan

Dengan galat sebesar O(h)

Hampiran Selisih Mundur

Misalkan x = x₀ - h, dengan ekspansi deret Taylor diperoleh

Dan diperoleh hampiran turunan

Dengan galat sebesar O(h)

Hampiran Selisih Pusat

Dengan mengurangkan ekspansi deret Taylor hampiran selisih maju dan hampiran selisih mundur, diperoleh hampiran turunan

Dengan galat sebesar O(h²)

Ekstrapolasi Richardson

Metode untuk mencari hampiran turunan orde lebih tinggi dengan hampiran orde lebih rendah, dan menghasilkan hasil yang lebih akurat

Dengan D(h) adalah hampiran turunan, dan n adalah orde galat