Sistem Persamaan Linear
Persamaan
Linear
Persamaan linear adalah sebuah persamaan yang tidak
ada perkalian antar variabel bebas, seperti 3x + 2y = 1.
Sistem
Persamaan Linear
Sebuah sistem yang berisi persamaan-persamaan
linear, bentuk umumnya adalah
a11
x1 + a12 x2 +...+a1n xn
= b1
a21
x1 + a22 x2 +...+a2n xn
= b2
...
am1
x1 + am2 x2 +...+amn xn
= bm
jika ditulis dalam bentuk matriks akan menghasilkan
Ax
= b
Atau
Pangkat(A) =
pangkat(A|b) = n à SPL mempunyai
solusi tunggal.
Pangkat(A) ≠
pangkat(A|b) à SPL tidak mempunyai solusi.
Bila suatu SPL
mempunyai solusi tunggal, maka terdapat banyak cara untuk mencari penyelesaian
SPL tersebut, di antaranya adalah : x = A-1b.
Metode
Substitusi Maju
Metode ini dimulai dengan mengubah terlebih dahulu
atriks A menjadi matriks segitiga
bawah
kemudian menyelesaikannya mulai dari x1
Metode
Substitusi Mundur
Metode ini dimulai dengan mengubah terlebih dahulu
atriks A menjadi matriks segitiga
atas
kemudian menyelesaikannya mulai dari xn
Eliminasi
Gauss Naif
Metode ini adalah kembangan dari metode eliminasi.
Langkah
penyelesaian:
1. Tulis SPL dalam bentuk matriks diperbesar
2. Ubah matriks tersebut menjadi matriks segitiga atas
atau segitiga bawah dengan operasi baris dasar (OBD)
Contoh : selesaikan SPL berikut dengan metode
eliminasi Gauss
6x1
– 2x2 + 2x3 + 4x4 = 16
12x1
– 8x2 + 6x3 + 10x4 = 26
3x1
– 13x2 + 9x3 + 3x4 = -19
-6x1
+ 4x2 + x3 -
18x4 = -34
Jawaban
kemudian solusi diperoleh dengan menerapkan
substitusi mundur
Vektor
Eror
Untuk suatu SPL, didefinisikan vektor eror sebagai
berikut
yaitu hampiran dikurangi nilai eksak
Vektor
Residu
Untuk suatu SPL, didefinisikan vektor residu sebagai
berikut
yaitu sisa yang dihasilkan oleh hampiran
Contoh : misalkan diberikan matriks A, vektor b,
hampiran, dan nilai eksak sebagai berikut
tentukan eror dan residu
Jawaban
Eliminasi
Gauss dengan Pivoting
Metode ini digunakan untuk mengantisipasi gagalnya
proses komputasi Eliminasi Gauss tanpa pivoting.
Gagalnya eliminasi Gauss disebabkan oleh adanya elemen diagonal utama matriks A yang bernilai nol.
Pivot
Parsial
Langkah :
1. Tentukan
r sehingga
2. Tukar
baris i dengan r, jika i=r tidak ditukar
3. Buat
nol elemen di bawah aii
4. Ulangi
langkah 1-3 sampai membentuk matriks segitiga atas
5. Lakukan
subtsitusi mundur
Pivot
Parsial Terskala
1. Definisikan
vektor indeks l = [l1,l2,...,ln]
= [1,2,...,n]
2. Definisikan
vektor skala s = [s1,s2,...,sn]
dengan
3. Tentukan
rasio masing-masing baris menggunakan
4. Pilih j, yaitu indeks dengan rasio maksimum. Baris j
adalah pivot untuk iterasi k (k = 1, 2, …, n-1). Jika banyaknya rasio maksimum lebih dari satu, maka pilih
indeks terkecil.
5. Tukar
lk dengan lj pada vektor indeks
6. Tukarkan baris pada matriks sesuai dengan vektor
indeks.
7. Buat nol elemen di bawah akk.
8. Kembali ke langkah 3. Vektor indeks yang digunakan
adalah yang terbentuk pada langkah 5.
Contoh : Tentukan solusi dari SPL berikut menggunakan eliminasi Gauss dengan
pivot parsial terskala
Jawaban (hanya 1 iterasi)
Pertama definisikan vektor indeks dan vektor skala
l
= [1,2,3]
= [l1,l2,l3]
s
= [2,1,4]
= [s1,s2,s3]
Untuk iterasi
pertama (k = 1), tentukan j, yaitu indeks dengan rasio maksimum.
Jika banyaknya rasio maksimum lebih dari satu, maka dipilih indeks terkecil.
Tukarkan
lk dengan
lj pada vektor
indeks. Artinya, untuk k=1 dan j=2, tukarkan l1 dan l2 , sehingga diperoleh vektor indeks baru
l =
[2,1,3]
Tukarkan baris
pada matriks sesuai dengan vektor indeks sehingga diperoleh
Buat nol
elemen-elemen di bawah a11
Iterasi pertama selesai
Struktur
Banded
Sebuah matriks
berukuran n x n disebut mempunyai struktur banded jika terdapat bilangan
bulat k (k ≤ n) sehingga aij =
0 ketika | i – j | ≥ k.
Tridiagonal
System
Suatu sistem
yang direpresentasikan dengan matriks yang memenuhi:
- Terdapat 3 diagonal, yaitu diagonal utama,
superdiagonal, dan subdiagonal.
- Elemen-elemen aij ≠ 0 jika |i–j|≤
1 dan aij=0 jika |i–j|≥
2.
Contoh :
Strictly
Diagonal Domiance
Matriks A = (aij)nxn
adalah strictly diagonally dominant
jika memenuhi syarat berikut
Pentadiagonal
System
Suatu sistem
yang direpresentasikan dengan matriks yang memenuhi:
- Terdapat 5 diagonal, yaitu diagonal utama, 2 super-diagonal, dan 2 subdiagonal.
- Elemen-elemen aij ≠ 0 jika |i–j|≥
2 dan aij = 0 jika|i–j|≥
3, untuk setiap i, j.
Contoh :
No comments:
Post a Comment