Kuliah 9 Analisis Numerik Lanjut

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah gabungan dari fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya. Persamaan ini terbagi atas persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa hanya memiliki satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial memiliki lebih dari satu variabel bebas. 

Contoh persamaan diferensial biasa

Contoh persamaan diferensial parsial

Solusi persamaan diferensial tidak selalu dapat dicari secara analitik, sehingga perlu pendekatan yang dilakukan secara numerik. Beberapa metode numerik di antaranya adalah

1. metode Euler
2. metode Heun
3. Metode deret Taylor
4. metode Runge-Kutta

Metode Euler

Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut

maka penyelesaiannya dapat didekati dengan cara berikut

Contoh :

Metode Heun

Mirip dengan metode Euler, hanya saja ada prediktor dan korektor

Metode Deret Taylor

Metode ini menggunakan bantuan deret taylor. Misalkan y(x_(r+1) ) adalah hampiran nilai y di x_(r+1) dengan r=0,1,…n, y(x_(r+1) ) diuraikan dengan deret Taylor  di sekitar x_r

Contoh :

Jawaban

Metode Runge-Kutta

Metode Runge-Kutta adalah alternatif dari metode Taylor yang tidak membutuhkan turunan. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut

Bentuk Runge-Kutta orde 1 sama dengan metode Euler, sedangkan bentuk orde 2, 3, dan 4 nya berturut-turut adalah sebagai berikut

Runge-Kutta orde 2

Runge-Kutta orde 3

Runge-Kutta orde 4