Metode Monte Carlo dan Simulasi
Bilangan Acak
Bilangan acak adalah bilangan yang kemunculannya tidak dapat diketahui. Bilangan ini bisa dibangkitkan melalui program komputer yang sudah ada, atau bisa juga dibangkitkan dengan membuat algoritme sendiri. Bilangan acak yang dibangkitkan harus menyebar seragam. Bilangan acak ini dapat ditentukan melalui beberapa cara, beberapa di antaranya adalah dengan tabel bilangan acak, electronic random number, congruential pseudo random generator.
Linear Congruential Generator (LCG)
Metode ini digunakan untuk membangkitkan bilangan acak dengan distribusi seragam.
Bilangan acak adalah bilangan yang kemunculannya tidak dapat diketahui. Bilangan ini bisa dibangkitkan melalui program komputer yang sudah ada, atau bisa juga dibangkitkan dengan membuat algoritme sendiri. Bilangan acak yang dibangkitkan harus menyebar seragam. Bilangan acak ini dapat ditentukan melalui beberapa cara, beberapa di antaranya adalah dengan tabel bilangan acak, electronic random number, congruential pseudo random generator.
Linear Congruential Generator (LCG)
Metode ini digunakan untuk membangkitkan bilangan acak dengan distribusi seragam.
Zi =
(aiZi-1 + c)
mod m
Zi
= bilangan acak ke-i dari
deretnya
Zi-1 = bilangan acak
sebelumnya
a = factor pengali
c = increment
m = modulus
Contoh : bangkitkan bilangan acak sebanyak 8 kali dengan a = 2, c = 7, m = 10, dan
Z0
= 2
Z1 =
(2.2 + 7) mod 10 = 1
Z2 =
(2.1 + 7) mod 10 = 9
Z3 =
(2.9 + 7) mod 10 = 5
Z4 =
(2.5 + 7) mod 10 = 7
Z5 =
(2.7 + 7) mod 10 = 1
Z6 =
(2.1 + 7) mod 10 = 9
Z7 =
(2.9 + 7) mod 10 = 5
Z8 =
(2.5 + 7) mod 10 = 7
bilangan acak yang terbentuk adalah 1 9 5 7 1 9 5 7.
Multiple Random Number Generator (MRNG)
Zi = aiZi-1
mod m
Zi
= bilangan acak ke-i dari
deretnya
Zi-1 = bilangan acak
sebelumnya
a = factor pengali
m = modulus
Mixed Congruential Random Number Generator (MCRNG)
Zn
= anZ0 + (an – 1)/(a – 1) c mod m
Penerapan Bilangan Acak
Salah satu penggunaan bilangan acak adalah untuk membangkitkan titik-titik yang menyebar seragam di dalam suatu bidang.
Contoh : membangkitkan titik dalam elips x2
+ 4y2 = 4 yang terletak pada -2 <= x
<= 2 dan
-1 <= y
<= 1
Langkah awal adalah dengan mendefinisikan x = 4r - 2 dan y = 2r - 1, di mana r adalah bilangan acak yang menyebar seragam [0,1]. Kemudian x dan y dibangkitkan sehingga menghasilkan titik-titik yang berada dalam persegi panjang dengan batas -2 <= x <= 2 dan -1 <= y <= 1. Dari titik-titik ini dipilih x dan y yang memenuhi x2 + 4y2 <= 4.
Langkah awal adalah dengan mendefinisikan x = 4r - 2 dan y = 2r - 1, di mana r adalah bilangan acak yang menyebar seragam [0,1]. Kemudian x dan y dibangkitkan sehingga menghasilkan titik-titik yang berada dalam persegi panjang dengan batas -2 <= x <= 2 dan -1 <= y <= 1. Dari titik-titik ini dipilih x dan y yang memenuhi x2 + 4y2 <= 4.
Cara ini memerlukan dua tahap, yaitu membangkitkan titik dalam persegi panjang kemudian memilih yang berada dalam elips. Sekarang jika langsung didefinisikan x = 4r - 2 dan y = (2r - 1)(1/2) √(4-x^2 ), ternyata titik-titik yang dibangkitkan tidak menyebar merata dalam elips, namun menggerombol di sisi kanan dan kiri.
Hal ini karena y tidak lagi menyebar seragam karena ada perkalian antara dua peubah seragam. Oleh karena itu perlu diperhatikan pendefinisian x dan y.
Estimasi Luas dan Volume
Luas dan volume dapat didekati dengan pembangkitan bilangan acak melalui integral. Konsepnya mirip seperti integral Riemann, namun panjang selang partisi tidak sama melainkan bergantung pada bilangan acak yang dibangkitkan.
n adalah banyaknya bilangan acak yang dibangkitkan, xi adalah titik yang dibangkitkan secara acak, dan [a,b] adalah selang fungsi. Secara umum integral dengan metode Monte Carlo berbentuk
Contoh :
jika mengambil n = 5, maka nilai integralnya menjadi 0.393900401
