Kuliah 8 Analisis Numerik Lanjut

Interpolasi Spline

Fungsi spline adalah sebuah fungsi yang terdiri atas beberapa polinomial yang digabung dengan beberapa kondisi kemulusan. Jadi, fungsi spline dapat dikatakan membagi fungsi suatu selang menjadi beberapa fungsi polinomial.

fungsi tersebut dapat ditulis menjadi

Fungsi S dikatakan spline orde 1 jika

1. daerah asal S adalah interval [a,b].
2. S kontinu di [a,b].
3. ada partisi interval a = t0 < t1 < ... < tn = b sehingga S adalah fungsi linear pada selang [ti,ti+1].

Contoh : tentukan apakah fungsi berikut merupakan spline orde 1

jika dilihat, fungsi tersebut tidak kontinu pada x = 0, sehingga S melanggar definisi fungsi spline, akibatnya S bukan spline.


Fungsi Q dikatakan spline orde 2 jika

1. daerah asal Q adalah interval [a,b].
2. Q dan Q' kontinu di [a,b].
3. ada titik ti sehingga a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b dan Q adalah polinomial berderajat paling banyak 2 pada interval [ti,ti+1].

Contoh : tentukan apakah fungsi berikut spline derajat 2

syarat 1 dan 3 sudah terpenuhi, tinggal memeriksa syarat kekontinuan fungsi Q dan Q' dengan cara berikut

Secara umum fungsi spline kuadratik berbentuk seperti berikut

kemudian Qi(x) dicari menggunakan cara berikut

di mana zi = Q'i(x) dan yi = Qi(x)

Sebagai gambaran akan diberikan perbandingan antara spline linear dan pline kuadratik

Praktikum 7 Analisis Numerik Lanjut

Hasil praktikum 7 analisis numerik lanjut tanggal 14 April 2016 tentang persamaan linear lanjut menggunakan TeXnicCenter

PDF dapat didownload di sini

\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {D:\Devoir\Semester 8\Analisis Numerik\} }

\title{PRAKTIKUM 7 ANALISIS NUMERIK LANJUT}
\author{Muhammad Muhlis Al Kautsar}

\begin{document}
\maketitle


\section{Pemilihan Soal}
\label{firstSection}

Soal diambil dari buku Kincaid D, Cheney W. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edition bab 8, Problems 8.1 no 1a,b atau no 10, no 3, Computer Problems 8.2 no 2 menggunakan metode Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Problems 8.3 no 7a, 7b, 7c, Computer Problems 8.4 no 7a, 7b. Penentuan soal berdasarkan nomor urut modulo banyaknya soal yang relevan pada bab terssebut, sehingga saya mendapatkan nomor soal 33 modulo 9 yaitu 6 atau Problems 8.3 no 7b.


\section{Computer Problems 8.3 no 7b}
Find all of the Gershgorin discs for the following matrices. Indicate the smallest region(s) containing all of the eigen values.\\
\[
   
  \left[ {\begin{array}{cc}
   3 \quad 1 \quad 2 \\
  -1  \quad 4 \ -1 \\
1 \ -2 \quad 9
\end{array} } \right]
  \]
\vskip 0.5cm


\section{Jawaban}
\vskip 0.5cm
Cakram Gershgorin jika dilihat dari baris
\vskip 0.5cm
\includegraphics[scale=0.5]{row}
\vskip 0.5cm
Cakram Gershgorin jika dilihat dari kolom
\vskip 0.5cm
\includegraphics[scale=0.5]{column}
\vskip 0.5cm
daerah terkecil yang memuat nilai Eigen adalah irisan dari keduanya
\vskip 0.5cm
\includegraphics[scale=0.5]{intersection}
\end{document}

Praktikum 6 Analisis Numerik Lanjut

Hasil praktikum 6 analisis numerik lanjut tanggal 31 Maret 2016 tentang persamaan linear menggunakan TeXnicCenter

PDF dapat didownload di sini

\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {D:\Devoir\Semester 8\Analisis Numerik\} }

\title{PRAKTIKUM 6 ANALISIS NUMERIK LANJUT}
\author{Muhammad Muhlis Al Kautsar}

\begin{document}
\maketitle


\section{Pemilihan Soal}
\label{firstSection}

Soal diambil dari buku Kincaid D, Cheney W. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edition bab 7, Problems 7.1 no 7d, no 3, Computer Problems 7.1 no 3, Problems 7.2 no 9, Computer Problems 7.3 no 4 dengan 2<=i<=3. Penentuan soal berdasarkan nomor urut modulo banyaknya soal yang relevan pada bab terssebut, sehingga saya mendapatkan nomor soal 33 modulo 4 yaitu 1 atau  Problems 7.1 no 7d.


\section{Computer Problems 7.1 no 7d}
Solve the following system using naive Gaussian elimination, that is, forward elimination and back substitution.\\
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=-2\\
4x_{1}+2x_{2}+x_{3}+2x_{4}=2\\
2x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=1\\
x_{1}+2x_{2}+4x_{3}+x_{4}=-1\\
  
\vskip 0.5cm


\section{Jawaban}
Pertama-tama ubah dulu bentuk persamaan menjadi bentuk matriks
\[
   
  \left[ {\begin{array}{cc}
   1 \ 3 \ 2 \ 1\\
4 \ 2 \ 1 \ 2\\
2 \ 1 \ 2 \ 3\\
1 \ 2 \ 4 \ 1
\end{array} } \right]
  \left[ {\begin{array}{cc}
    x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}  
\end{array} } \right]
=
\left[ {\begin{array}{cc}
   -2 \\ 2 \\ 1 \\ -1  
\end{array} } \right]
\] 
\vskip 0.5cm
Jika dilakukan eliminasi Gauss pada persamaan tersebut akan menghasilkan

\includegraphics[scale=0.5]{gauss}
\vskip 0.5cm
sehingga solusi yang didapat adalah x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=0, x_{4}=0.
\end{document}