Analisis Numerik Lanjut Kuliah 1

Analisis Numerik

Analisis numerik adalah ilmu yang memungkinkan untuk memecahkan permasalahan matematika dengan menggunakan pendekatan. Masalah matematika tidak selalu dapat diselesaikan secara analitik seperti pengintegralan fungsi yang rumit. Oleh karena, itu perlu dilakukan pendekatan dengan metode numerik sebagai salah satu alternatif penyelesaian. Prinsip kerja komputasi numerik adalah menyederhanakan masalah dengan mengubah permasalahan kompleks menjadi lebih sederhana.

Solusi yang dihasilkan metode numerik berupa hampiran, sehingga memiliki unsur kesalahan. Solusi yang diharapkan dalam metode ini adalah yang memberikan solusi akurat dalam waktu yang singkat.

Kesalahan yang dihasilkan pendekatan numerik bisa berasal dari sebelum dan saat proses komputasi. Kesalahan sebelum proses komputasi bisa diakibatkan oleh model yang salah, hasil observasi yang salah, kesalahan perhitungan sebelumnya. Kesalahan saat proses komputasi bisa diakibatkan oleh pembulatan hasil, hampiran, pemangkasan.

Notasi Ilmiah

Notasi ilmiah adalah cara penulisan yang mengakomodasikan angka yang terlalu besar atau terlalu kecil dalam notasi desimal.

x = ± q × 10 ⁿ ;  1 ≤  q < 10

q = mantissa

n = eksponen

contoh : 0,00324 = 3,24 x 10^-3

              709600 = 7,096 x 10⁵

Decimal Floating Point Number

x = σ.p.10^e

0,1 ≤ p < 1

σ = ±1

e = bilangan bulat

Galat

Galat adalah selisih antara nilai sebenarnya dengan nilai pendekatannya, atau dapat ditulis 

dengan x_T nilai sebenarnya dan x_A nilai pendekatan.

Kesalahan relatifnya dapat ditulis sebagai  

Angka Signifikan

Misalkan suatu bilangan x dinyatakan dalam bentuk x = d_n d_n-1...d₁ d₀,d_-1 d_-2...d_-m+1 d_-m

Jika d_k > 0 dan d_j = 0 untuk suatu j, k, j>k, maka d_k,d_k-1, ..., d_-m disebut sebagai angka signifikan.

Suatu hampiran X dikatakan menghampiri x sampai k angka signifikan jika ada bilangan bulat positif k terbesar yang memenuhi

Machine Epsilon

Machine epsilon adalah suatu bilangan η = y-1 dengan y adalah bilangan terkecil >1 yang dapat direpresentasikan dalam komputer. Machine epsilon digunakan dalam menentukan ukuran keakuratan suatu komputer. 

Pemangkasan dan Pembulatan Sistem Desimal

Pemangkasan atau pembulatan dilakukan agar angka yang diinginkan dapat masuk ke dalam batas menyimpan komputer. Misalkan diberikan suatu bilangan x = σ . (a1 a2...an...) 10^Ɛ , maka dapat dilakukan pemangkasan sampai dengan an dengan cara menghilangkan suku setelah an sehingga menghasilkan x = σ . (a1 a2...an) 10^Ɛ  . Sedangkan dalam pembulatan, perlu diperhatikan angka setelah an. Jika an+1 ≥ 5, maka an menjadi an+1, jika an+1 < 5, maka an tidak berubah dan suku setelah an+1 dihilangkan.

Loss of Significant Error

Loss of significant error adalah kesalahan yang terjadi akibat keterbatasan mesin yang dipakai. Kesalahan ini biasanya melibatkan pengurangan dua bilangan yang hampir sama. Sebagai contoh, misalkan f(x)=x(√(x+1)+√x) dievaluasi menggunakan kalkulator 6 dijit desimal menggunakan pembulatan, maka hasilnya akan menjadi seperti berikut

Terlihat bahwa semakin besar x, maka semakin jauh hasil pendekatan dibanding hasil sebenarnya. Salah satu cara untuk menghindari kasus ini adalah dengan mengubah bentuk pengurangan bilangan yang hampir sama dengan bentuk lain, seperti mengalikan dengan konjugatnya.

Propagasi Kesalahan

Misalkan f* adalah hampiran fungsi untuk f, dan x_A adalah hampiran untuk x_T, maka f(x_T) dapat dihampiri dengan menghitung f*(x_A) dengan kesalahan sebesar f(x_T) - f*(x_A) =[ f(x_T) - f(x_A)] +[ f(x_A) - f*(x_A)]. Nilai [ f(x_A) - f*(x_A)] disebut noise, dan [ f(x_T) - f(x_A)] disebut kesalahan propagasi. Misalkan f fungsi terturunkan, berdasarkan teorema nilai tengah, ada p dengan p berada di antara x_T dan x_A, sehingga f(x_T) - f(x_A) = f’(p).(x_T – x_A). Misalkan x_T dan x_A berdekatan, maka dapat ditulis f(x_T) - f(x_A) ≈ f’(x_T).(x_T – x_A).

Propagasi pada Operasi Aritmatika

Seperti pada propagasi kesalahan, fungsi f diganti dengan suatu operasi aritmatika ϴ dan f* diganti dengan operasi aritmatika pada komputer ϴ*. Maka untuk menghitung x_Aϴy_A menghasilkan kesalahan sebesar x_Tϴy_T - x_Aϴ*y_A =[ x_Tϴy_T - x_Aϴy_A] +[ x_Aϴy_A - x_Aϴ*y_A].