Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan 2 atau lebih variabel. Ada banyak bentuk persamaan diferensial parsial ini, namun ada beberapa yang cukup penting yaitu persamaan gelombang, persamaan panas, persamaan Laplace. Persamaan-persamaan tersebut berbentuk seperti berikut
Untuk menyederhanakan persamaan tersebut maka dapat didefinisikan operator berikut
Ada beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut, beberapa di antaranya adalah metode beda hingga, metode lax, metode upwind, metode lax-wendroff.
Metode Beda Hingga
Metode ini menggunakan pendekatan deret Taylor sehingga diperoleh persamaan beda, sehingga didapat 2 persamaan berikut
kemudian persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan diferensial parsial yang ingin dicari penyelesaiannya. Sebagai gambaran, untuk persamaan panas maka persamaannya akan menjadi
dengan σ=k/h^2
k dan h adalah banyaknya langkah yang dilakukan, dengan memasukkan nilai awal, k, dan h, maka solusi persamaan panas di suatu titik (x,t) dapat ditemukan.
Persamaan Adveksi
Persamaan adveksi adalah salah satu persamaan gelombang yang menggambarkan mekanisme transportasi suatu substansi yang mengalir dalam fluida dengan arah tertentu. Secara umum, persamaan adveksi adalah sebagai berikut
dengan menggunakan hampiran beda maju dan beda pusat, maka persamaan tersebut dapat diubah menjadi
di mana σ = c(k/h)
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode lax, upwind, dan lax-wendroff
Metode Lax
Metode Upwind
Metode Lax-Wendroff
Contoh :
Tentukan nilai
u(0.5, 0.2) bila diketahui persamaan adveksi ux = ut
U(0,t) =
u(1,t) = 0 dan u(x,0) = sin(πx)
Dengan memilih h = 0.5 dan k = 0.1, c = -1, maka σ = -0.2
No comments:
Post a Comment