Kuliah 13 Analisis Numerik Lanjut

Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan 2 atau lebih variabel. Ada banyak bentuk persamaan diferensial parsial ini, namun ada beberapa yang cukup penting yaitu persamaan gelombang, persamaan panas, persamaan Laplace. Persamaan-persamaan tersebut berbentuk seperti berikut

Untuk menyederhanakan persamaan tersebut maka dapat didefinisikan operator berikut

Ada beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut, beberapa di antaranya adalah metode beda hingga, metode lax, metode upwind, metode lax-wendroff.

Metode Beda Hingga

Metode ini menggunakan pendekatan deret Taylor sehingga diperoleh persamaan beda, sehingga didapat 2 persamaan berikut

kemudian persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan diferensial parsial yang ingin dicari penyelesaiannya. Sebagai gambaran, untuk persamaan panas maka persamaannya akan menjadi

dengan σ=k/h^2

k dan h adalah banyaknya langkah yang dilakukan, dengan memasukkan nilai awal, k, dan h, maka solusi persamaan panas di suatu titik (x,t) dapat ditemukan.

Persamaan Adveksi

Persamaan adveksi adalah salah satu persamaan gelombang yang menggambarkan mekanisme transportasi suatu substansi yang mengalir dalam fluida dengan arah tertentu. Secara umum, persamaan adveksi adalah sebagai berikut

dengan menggunakan hampiran beda maju dan beda pusat, maka persamaan tersebut dapat diubah menjadi

di mana σ = c(k/h)

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode lax, upwind, dan lax-wendroff

Metode Lax

Metode Upwind

Metode Lax-Wendroff

Contoh : 

Tentukan nilai u(0.5, 0.2) bila diketahui persamaan adveksi u_x = u_t

U(0,t) = u(1,t) = 0 dan u(x,0) = sin(πx)

Dengan memilih h = 0.5 dan k = 0.1, c = -1, maka σ = -0.2

Kuliah 12 Analisis Numerik Lanjut

Metode Monte Carlo dan Simulasi

Bilangan Acak
Bilangan acak adalah bilangan yang kemunculannya tidak dapat diketahui. Bilangan ini bisa dibangkitkan melalui program komputer yang sudah ada, atau bisa juga dibangkitkan dengan membuat algoritme sendiri. Bilangan acak yang dibangkitkan harus menyebar seragam. Bilangan acak ini dapat ditentukan melalui beberapa cara, beberapa di antaranya adalah dengan tabel bilangan acak, electronic random number, congruential pseudo random generator.

Linear Congruential Generator (LCG)
Metode ini digunakan untuk membangkitkan bilangan acak dengan distribusi seragam.

Z_i = (a_iZ_i-1­ + c) mod m

Z_i             = bilangan acak ke-i dari deretnya

Z_i-1             = bilangan acak sebelumnya

a              = factor pengali

c               = increment

m             = modulus

Contoh : bangkitkan bilangan acak sebanyak 8 kali dengan a = 2, c = 7, m = 10, dan

Z₀ = 2

Z₁ = (2.2 + 7) mod 10 = 1

Z₂ = (2.1 + 7) mod 10 = 9

Z₃ = (2.9 + 7) mod 10 = 5

Z₄ = (2.5 + 7) mod 10 = 7

Z₅ = (2.7 + 7) mod 10 = 1

Z₆ = (2.1 + 7) mod 10 = 9

Z₇ = (2.9 + 7) mod 10 = 5

Z₈ = (2.5 + 7) mod 10 = 7

bilangan acak yang terbentuk adalah 1 9 5 7 1 9 5 7.

Multiple Random Number Generator (MRNG)

Z_i = a_iZ_i-1­ mod m

Z_i             = bilangan acak ke-i dari deretnya

Z_i-1             = bilangan acak sebelumnya

a              = factor pengali

m             = modulus

Mixed Congruential Random Number Generator (MCRNG)

Z_n = aⁿZ₀ + (a_n – 1)/(a – 1) c mod m

Penerapan Bilangan Acak

Salah satu penggunaan bilangan acak adalah untuk membangkitkan titik-titik yang menyebar seragam di dalam suatu bidang. 

Contoh : membangkitkan titik dalam elips x² + 4y² = 4 yang terletak pada -2 <= x <= 2 dan  

-1 <= y <= 1

Langkah awal adalah dengan mendefinisikan x = 4r - 2 dan y = 2r - 1, di mana r adalah bilangan acak yang menyebar seragam [0,1]. Kemudian x dan y dibangkitkan sehingga menghasilkan titik-titik yang berada dalam persegi panjang dengan batas -2 <= x <= 2 dan  -1 <= y <= 1. Dari titik-titik ini dipilih x dan y yang memenuhi x² + 4y² <= 4.

Cara ini memerlukan dua tahap, yaitu membangkitkan titik dalam persegi panjang kemudian memilih yang berada dalam elips. Sekarang jika langsung didefinisikan x = 4r - 2 dan y = (2r - 1)(1/2) √(4-x^2 ), ternyata titik-titik yang dibangkitkan tidak menyebar merata dalam elips, namun menggerombol di sisi kanan dan kiri.

Hal ini karena y tidak lagi menyebar seragam karena ada perkalian antara dua peubah seragam. Oleh karena itu perlu diperhatikan pendefinisian x dan y.

Estimasi Luas dan Volume

Luas dan volume dapat didekati dengan pembangkitan bilangan acak melalui integral. Konsepnya mirip seperti integral Riemann, namun panjang selang partisi tidak sama melainkan bergantung pada bilangan acak yang dibangkitkan. 

n adalah banyaknya bilangan acak yang dibangkitkan, xi adalah titik yang dibangkitkan secara acak, dan [a,b] adalah selang fungsi. Secara umum integral dengan metode Monte Carlo berbentuk

Contoh : 

jika mengambil n = 5, maka nilai integralnya menjadi 0.393900401